Заключить новый трудовой договор во время вашего нахождения в отпуске с последующим увольнением вы можете, а приступить к работе нет. Дело в том, если вы находитесь в отпуске с последующим увольнением, то днём увольнения будет считаться последний день отпуска (ст. 127 Трудового кодекса РФ). Выполнение работником другой регулярной оплачиваемой работы в свободное от основной работы время на условиях трудового договора, заключённого с другим работодателем, является внешним совместительством (ст. 60.1, ст. 282 Трудового кодекса РФ). А согласно части 1 ст. 286 Трудового кодекса РФ лицам, работающим по совместительству, ежегодные оплачиваемые отпуска предоставляются одновременно с отпуском по основной работе. Таким образом, работать и одновременно находиться в ежегодном оплачиваемом отпуске, пусть и предоставленном с последующим увольнением, нельзя.