Да, вы являетесь штатным сотрудником организации. В части 4 ст. 58 Трудового кодекса РФ определено, что в случае, когда ни одна из сторон не потребовала расторжения срочного трудового договора в связи с истечением срока его действия, и работник продолжает работу после истечения срока действия трудового договора, условие о срочном характере трудового договора утрачивает силу и трудовой договор считается заключенным на неопределенный срок. В вопросе вы указали, что за две недели до истечения срока договора вас уведомили об увольнении, что вполне соответствует ст. 79 Трудового кодекса РФ, однако требования о расторжении срочного трудового договора в связи с истечением срока его действия не последовало. Поскольку после истечения срока трудового договора вы продолжали работать, ваш срочный трудовой договор трансформировался в бессрочный (заключенный на неопределенный срок). Новый договор подписывать не надо, но если вы его подпишете, соответствующий документ будет рассматриваться как дополнительное соглашение к трудовому договору.